ナルシシスト数

数学に触れていると、「○○数」という言葉がたくさん出てきます。

「自然数」「素数」「合成数」あたりはすでに知っている人が多いでしょう。「虚数」「複素数」も高校数学で出てきます。「三角数」「四角数」「回文数」「フィボナッチ数」「友愛数」「グラハム数」あたりはどうでしょうか。どんな数か、ぜひ調べてみてください。

さて、今回は「○○数」の例として、「ナルシシスト数」を紹介したいと思います。
ナルシシスト数とは、「n桁の自然数で、その各桁の数のn乗の和が、もとの自然数に等しくなる数」のことです。

たとえば、371や1634はナルシシスト数です。

33+ 73+ 13= 27 + 343 + 1 = 371
14+ 64+ 34+ 44= 1 + 1296 + 81 + 256 = 1634

自己愛が強いことをナルシシズムといいます。ギリシア神話に登場する美少年ナルキッソスが、水面に映る自らの姿に恋をしたというエピソードに由来しています。このナルシシスト数も、自身の数を水面に映して表現しているような比喩となっています。

ナルシシスト数を小さい方から並べてみると、1、2、3、4、5、6、7、8、9、153、370、371、407、1634、8208、9474、...と続いていきます。

ではどこまで続いていくのでしょうか。言い換えると、ナルシシスト数は有限個なのでしょうか、無限個なのでしょうか。証明できますか？

この問題は、中学数学レベルで理解できます（厳密な証明は高校数学レベル）。ぜひ自分でちょっと考えてから、次の説明を読んでほしいと思います。

証明してみよう

n 桁の自然数Nを考えます。各桁の n 乗和が最大になるのは、各桁の数字が9の場合なので、その和は 9n+ 9n+ ⋯ + 9n= n × 9n となります。

一方、n 桁の自然数のうち最小のものは 10n−1ですので、N ≧ 10n−1 となります。

よって、Nがナルシシスト数ならば、n × 9n ≧ 10n−1 となります。
これを変形すると、

10n ≧ (10
9)n……☆

となります。

y ≧ (10
9)nのように指数に文字の入った関数を指数関数をいいます。指数関数の厳密な取り扱いは高校数学の数Ⅱや数Ⅲで学びますが、概略は中学数学の範囲でも理解できます。

たとえば、an と 2a の振る舞いはどのように違うでしょうか。

まずは a = 2 の場合、つまり 2n と 2n の違いについて考えてみましょう。 2n は n の値によらず n が1増えるごとに2ずつ増えていきます。
一方、2nは n が1から2に増えるときは2から4へと2しか増えませんが、n が10から11に増えるときは1024から2048へと1024も増えます。

このように a が1より大きい場合（たとえば2n）は、指数関数 y = an は n が大きくなるにつれて爆発的に増加していきます。逆に、a が1より小さいとき（たとえば0.1n）は、y = an は n 大きくなるにつれ爆発的に減少していきます。

では、

10n ≧ (10
9)n……☆

に戻りましょう。

左辺の10n は n の値によらず一定の割合で増加しますが、右辺の(10
9)nは n が大きくなると爆発的に増加していくことがわかります。
n = 1のときは、10 ≧(10
9)。n = 2のときは 20 ≧100
81といったように、n が比較的小さい場合は☆の不等式は成り立ちますが、nが大きくなると(10
9)nが爆発的に増加し、いずれは 10n を超えてしまう（☆が成り立たなくなる）ときがやってくるだろうとわかります。